Penurunan Persamaan Kecepatan Gelombang Primer dan Sekunder

 

Gelombang seismik adalah strain dinamik atau strain elastik yang berubah terhadap waktu yang merambat melalui material elastik seperti batuan sebagai tanggapan terhadap suatu gangguan dinamik. Gelombang seismik atau gelombang elastik terdiri atas dua jenis, yaitu gelombang tubuh (body wave) dan gelombang permukaan (surface wave).

Metode seismik memanfaatkan penjalaran gelombang seismik ke dalam bumi. Yang menjadi objek perhatian utama pada rekaman gelombang seismik dalam metode ini ialah body wave. Gelombang ini merupakan gelombang yang energinya ditransfer melalui medium di dalam bumi. Sedangkan pada surface wave transfer energinya pada permukaan bebas, tidak terjadi penetrasi ke dalam medium bumi dan hanya merambat di permukaan bumi saja.

Body wave dibagi menjadi dua macam, yaitu:

P-wave atau gelombang-P/gelombang primer. Gelombang ini adalah gelombang longitudinal dimana arah pergerakan partikel akan searah dengan arah rambat gelombang.

S-wave atau gelombang-S/gelombang sekunder. Gelombang ini adalah gelombang transversal dimana arah pergerakan partikel akan tegak lurus dengan arah rambat gelombang.

Kecepatan gelombang-P lebih besar daripada gelombang-S (jika merambat dalam medium yang sama). Gelombang-P merupakan gelombang yang pertama kali sampai dan terdeteksi oleh receiver (hydrophone atau geophone). Sedangkan gelombang-S kadang tidak terdeteksi oleh receiver untuk jarak yang dekat dengan sumber.

Pertanyaannya adalah:

“Bagaimana penurunan persamaan kecepatan gelombang-P & gelombang-S ??”

Penurunan persamaan diawali dengan tinjauan terhadap sebuah benda (medium) homogen berbentuk kubus yang dikenakan oleh sebuah gaya tertentu. Tekanan yang mengenai benda tersebut jika ditinjau pada salah satu permukaannya mempunyai komponen-komponen sebagaiberikut: (b.1).

Komponen2 tekanan di atas disebut gaya tiap unit volume benda pada bidang x yang berarah pada sumbu x, y, z. Untuk permukaan bidang lainnya, hubungan variabel gaya tiap satuan volumenya analog dengan bidang x. Total gaya pada sumbu x yang terjadi pada benda kubus adalah: (b.2)

Sedangkan menurut Newton, gaya adalah perkalian antara massa dan percepatannya, F = ma. Bila dikaitkan dengan densitas benda ρ= mv, maka: (b.3)

Dengan menggunakan definisi gaya tersebut, maka persamaan (b.2) menjadi: (b.4)

Hubungan ini disebut persamaan gerak yang searah sumbu x. Dengan cara yang sama, dapat diperoleh persamaan gerak pada arah lainnya.

Selanjutnya perhatikan kembali persamaan (a.1), (a.2), (a.4), (a.5) dan (a.6) *lihat postingan sebelumnya*. Menggunakan persamaan-persamaan tersebut persamaan (b.4) dapat diturunkan menjadi: (b.5)

Dengan cara yang sama, persamaan (b.4) dapat diterapkan pada sumbu y dan z, yaitu: (b.6) dan (b.7)

Gelombang merambat pada suatu media ke segala arah. Secara tiga dimensi arah perambatan gelombang dinyatakan dengan sumbu x, y, z. Untuk menentukan persamaan gelombang ini, diferensiasi persamaan (b.5; b.6 dan b.7) masing-masing terhadap x, y dan z sehingga untuk persamaan (b.5) diperoleh: (b.8)

Persamaan (b.8) merupakan persamaan gelombang longitudinal. Dari persamaan gelombang tersebut diperoleh kecepatan gelombang longitudinal atau dikenal dengan kecepatan gelombang-P yaitut: (b.9)

Untuk menurunkan persamaan gelombang transversal, maka persamaan (b.6) diturunkan terhadap z dan persamaan (b.7) diturunkan terhadap y. Hasil turunan persamaan (b.6) dikurangi hasil turunan persamaan (b.7) menghasilkan: (b.10)

Dengan menggunakan definisi pada persamaan (a.3), hubungan ini (dalam arah x) dituliskan menjadi: (b.11)

Untuk arah penjalaran y dan z diturunkan dengan cara yang sama, sehingga diperoleh hubungan: (b.12) & (b.13)

Persamaan (b.11), (b.12) dan (b.13) menyatakan persamaan gelombang transversal. Dari persamaan gelombang tersebut diperoleh kecepatan gelombang transversal atau dikenal dengan kecepatan gelombang-S yaitu: (b,14)

Berdasarkan pola-pola dari persamaan (b.8), (b.11), (b.12) dan (b.13), kita dapat menarik suatu konklusi bahwa persamaan tersebut berlaku umum. Hubungan ini disebut persamaan gelombang skalar, secara umum dituliskan dengan: (b.15). Dengan v menyatakan kecepatan tetap dan ψ menyatakan fungsi gelombang pada posisi x, y, z dan waktu t tertentu, atau dituliskan ψ(x,y,z,t).

Reference:

Ramalis, T.R. (2001). Gelombang dan Optik. Common Textbook pada Jurdik.Fisika FPMIPA UPI.

Telford, W.M., Geldart, L.P dan Sheriff, R.E. (1990). Applied Geophysics. Second Edition. Cambridge University Press.

(Gambar) Applied Geophysics – Waves and rays – I.pdf